Analyse complexe pour la Licence 3 : Cours et exercices by Patrice Tauvel PDF

By Patrice Tauvel

ISBN-10: 2100500740

ISBN-13: 9782100500741

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On en déduit : N n=1 D’où : N n=1 α2n α2n − 2 N n=1 N 2 −N α2N an αn N an αn 2 n=1 n=1 a2n 0. 1/2 N n=1 α2n 1/2 . Si tous les an sont nuls, le résultat demandé est clair. Sinon, pour N assez grand, le membre de droite de l’inégalité précédente est non nul. Alors, si N est assez grand, il vient : N n=1 α2n 1/2 N 2 n=1 a2n 1/2 N ⇒ n=1 α2n N 4 n=1 a2n . D’où le résultat. 7. On a lim pn = +∞, donc p−1 n ∼ − ln(1 − pn ). On va prouver que la série de terme général x n = − ln(1 − p−1 n ) est divergente, ce qui montrera que la série donnée diverge.

D’où facilement le résultat. 6. Si n ∈ N∗ et (x, y) ∈ R2 , on a 0 fn (x, y) n−2 . Par suite, la série fn est normalement, donc uniformément convergente sur R 2 . Les fn étant continues, il en est de même de F . Posons : x gn (t) = −2 exp(−nx2 ). n © Dunod. La photocopie non autorisée est un délit. Il vient : 2 exp(−nx2 ). n √ On en déduit que gn est extrémale pour t = ±1/ 2n, puis que : √ √ |gn (t)| 2/ne n = An−3/2 . gn (t) = 4x2 − Il vient alors facilement : ∂fn (x, y) ∂x An−3/2 , ∂fn (x, y) ∂y An−3/2 .

Remarque. 2 ne s’étend pas aux intégrales impropres. 1. Soit f = (fn )n une suite de fonctions sur X . On appelle série de fonctions de terme général f n , et on note fn , la suite de fonctions n fn , fk n k=0 . L’élément f0 + · · · + fn est noté Fn , et on dit que F = (Fn )n est la suite de fonctions associée à la série fn . On dit que la série fn converge simplement (respectivement uniformément) sur X si la suite F converge simplement (respectivement uniformément) sur X . On dit que la série critère.

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by James
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